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1、4．7 化圆为方问题也许没有别的问题比作一个与给定的圆面积相等的正方形这个问题具有更大或更长久的吸引力．远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直径之8/9的方法“解决”了这个题．后来，的确有成千上万的人对此问题做过研究。

2、并且尽管已经证明了用欧几里和工具①例如，参看Howard Eves著的A Survey of Geometry．vol．2．pp．30—38作此图的不可能性，但每年总有些人自称是“化圆为方者”． 人们都知道第一个与此问题有联系的希腊人是阿那克萨哥拉(Anaxagoras。

3、约公元前499—427年)，但是不知道他的贡献是什么．希俄斯的希波克拉底(阿那克萨哥拉的同时代人)，成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积。

4、也许是想通过他的研究来解决化圆为方问题．后来，伊利斯的希皮阿斯(约公元前425年)发明了一种曲线，称为割圆曲线(quadratrix)．这个曲线既能解三等分角问题。

5、又能解化圆为方问题．关于谁首先把它用于化圆为方问题，有不同传说．很可能是希皮阿斯把它用于三等分角，迪诺斯特拉德斯(Dinostratus。

6、约公元前350年)或以后的几何学家将它应用于化圆为方问题．在问题研究4．12中，讲述希波克拉底的某些月形；在问题研究4．10中，讲述割圆曲线的双重作用；在问题研究4．11中。

7、讲述几种近似的化圆为方法． 用阿基米得螺线(spiral of Archimedes)能成功地解决化圆为方问题，方法很简单．据说阿基米得(约公元前225年)确实曾用他的螺线解决了这个问题．我们可以用运动的方式来定义阿基米得螺线：当某射线围绕其原点在一个平面上作匀速转动时，沿着该射线作匀速转动的点P的轨迹．如果。

8、我们把当P与射线原点O重合时转动射线的位置OA取为极座标系的极轴，则OP与∠AOP成正比例，并且。

9、阿基米得螺线的极座标方程为r=aθ(a是比例常数)．我们以O点为圆心，以a为半径，作一圆．于是。

10、OP之长与OA和OB两条直线之间的那段圆弧相等，因为它们都是由aθ给出的(参看图35)．由此得出：如果取OP垂直于OA，则OP之长等于圆周的1/4．由于圆的面积K等于其半径和圆周的乘积的一半。

11、所以因此所求正方形的边是2a与OP的比例中项，即圆的直径与垂直于OA的螺线的矢径之长的比例中项． 我们可以用阿基米得螺线三等分(或任意等分)∠AOB．设OB交螺线于P点，并且点P1和P2三等分线段OP．如果以O为圆心。

12、分别以OP1和OP2为半径作两圆，分别与螺线交于T1和T2，则OT1和OT2三等分∠AOB．。